线性代数难点题型

1. 关于矩阵的n阶的题型

(1) 如果$A=αβ^{T}$,其中α和β是n维非零列向量,则$A^{n}=l^{n-1}A$,其中$l=β^{T}α=tr(A)$

(2) 如果$A=\begin{pmatrix}
0 & a & c \\
0 & 0 & b \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$,则$A^{2}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ab \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$,$A^{3}=0$,$A^{4}=0$…

(3) 如果$A \sim B$,则$A^{n} \sim B^{n}$,于是$A^{n} \sim P^{-1}B^{n}P$,其中B是对角矩阵。

(4) 用归纳法:先求 $A^{2},A^{3}$ 等,看出规律,再求 $A^{n}$

2. 证明可逆的方法主要有:

n阶矩阵A可逆

<=> $|A|\neq0$

<=> r(A)=n

<=> A的列(行)向量组线性无关

<=> Ax=0只有0解

<=> 0不是矩阵A的特征值

3. 关于两个矩阵的和的公式只有:

$(A+B)^T=A^T+B^T$

4. 满足交换律的一些特殊矩阵:

(1) $AA^2=A^2A=A^3$

(2) $AA^{\ast}=A^{\ast}A=|A|E$

(3) $AE=EA=A$

(4) $AA^{-1}=A^{-1}A=E$

(5) $AB=aA+bB(ab\neq0)$

(6) $A^2-kAB=E(k\neq0)$

注:一般矩阵不满足交换律。


THE END.

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