201709304

题 4:

设 f(x) 在[0,1] 上有二阶导数,f(0)=f(1)=f’(0)=f’(1)=0,证明存在 𝛏∈(0,1),使得f’’(𝛏)=f(𝛏).


证明

构造辅助函数 $F(x)=[f(x)+f’(x)]e^{-x}$.

由题设可知F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且F(0)=F(1).由罗尔定理可知至少存在一点 𝛏∈(0,1),使得F’(𝛏)=0.

又 $F’(x)=[f’(x)+f’’(x)]e^{-x}-[f(x)+f’(x)]e^{-x}=[f’’(x)-f(x)]e^{-x}$.由于 $e^{-x}\neq0,可知有f’’(𝛏)-f(𝛏)=0,即f’’(𝛏)=f(𝛏).$


THE END.

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